Uživatel:Jakuba Škrdla/Úvahy/Paralelní formy

Operace s množinami a operace s výroky se stávají v oblasti matematiky paralelnímí formami.

Matematické věty se často týkají prvků určité množiny D a obsahují výrokové formy s připojenými kvantifikátory.Takové věty mají množinový význam.

Výrokové formy

Výrokové formy jsou výroky o číslech.Protože výrokové formy mají obory pravdivosti,které jsou zpravidla množinami,provádíme s výrokovými formami paralelně operace jako s výroky i operace jako s množinami.

Výrokové formy značíme A(x),B(x).Jejich obory pravdivosti značíme A,B.

Tři operace s výroky mají množinové protějšky.Znázorněme si je i se zkratkami,kterí budeme používat:

    NEG,NEGACE   KON, KONJUNKCE    ALT ALTERNATIVA
    DOP, DOPLŇEK PRU, PRUNIK       SJE,SJEDNOCENÍ

Dvě nejdůležitější operace s výrokovými formami,implikace a ekvivalence nemají výrokové protějšky,avšak jejich obměny je mají.Znázorněme si opět tyto operace s jejich obměnami s nimiž budeme provádět množinové operace a znnázorněm si opět jejich používané zkratky:

    IMP,IMPLIKACE   EKV EKVIVALENCE
    DOP A SJE B     (A PRU B) SJE (DOP A PRU DOP B)

Znázorněme si paralelní průběh operace implikace výrokové formy, jako výroku, s odpovídající množinovou operací s obory pravdivosti A,B.

Věta:Pro každé x patřící do D platí:A(x) IMP B(x) tvrdí,že obor pravdivosti této implikace DOP A SJE B vyplňuje celou množinu D.Máme tedy rovnost DOP A SJE B = D,Z ČEHOŽ PLYNE:A inkluzní v B. Znázorněme si to graficky.

                        Schema definičního oboru D jako Vennův diagram
                        s očíslovanými poli,vyznačenými obory pravdivostiA,B
                        symbol 1 značí obsazené pole,symbol 0 PRÁZDNÉ POLE

                              A                        DOP A
                              2 0                      1 4 DOP B
                                         D
                              1 1                      1 3     B

Symbol prázdnosti 0 v poli 2 množiny D značí,že A INKLUZNÍ v B.A obsahuje pouze pole,ale B obsahuje pole 1 3.

Prvek paralelna

Prvkem paralelna v množinových větách je jejich množinový význam.Ten spočívá v tom,že pravdivostní hodnoty operace výrokové formy chápeme také jako obsazenost,resp.prázdnost pole mniožinového diagramu oboru pravdivosti výrokové formy.

Důležité poznatky

Z uvedeného plynou důležité poznatky:

 Pro každé x patřící do D platí A(x)                  A=D
 Existuje  x patřící do D,pro které platí A(x)        A není prázdné
 Pro každé x patřící do D platí A(x) IMP B(x)         A inkluzní v B
 Pro každé x patřící do D platí A(x) EKV B(x)         A = B
 Pro žádné x patřící do D neplatí A(x)                A je prázdné

Uvažujme větu:Pro každé n patřící do N platí (2 dělí n KON 3dělí n).Výrok v této větě má množinový význam.Vypovidá o vztahu množin A=[n patří do N,2 dělí n],B=[n patří do N,3 dělí n],C=[n patří do N,6 dělí n].Vypovídá toto:(A PRU B) INKLUZNÍ v C.

Konverze

Tedy v matematických větách se výpověď o číslech může změnit ve výpovšď o množínách.Tedy operace s výroky a operace s množinami mohou probíhat jednak samostatně, ale v matematické oblasti se mohou operace s výroky měnit v operace s množinami a naopak.Kde je psáno,že tyto konverze se omezují pouze na matematiku a neprobíhají třeba i ve fyzice.Zde např.energie kinetická může vystupovat nezávisle na energii elektrické,ale také naopak tyto energie se mohou navzájem přeměňovat.

Nejsilnější slova

Když můj otec umíral,tak jsem mu řekl:"Vždyť umřeš."A on mi odpověděl:"Dyť je to jedno."Jeho slova byla tak silná,že neplatila Nebylo to jedno.

Matematika Filosofie