Uživatel:Jakuba Škrdla/Úvahy/Monotonnost a derivace 3

Jestliže má funkce f v každém bodě intervalu (a,b) kladnou derivaci,pak f je rostoucí v intervalu (a,b). Důkaz.Zvolme libovolná čísla x1,x2 patřící do (a,b),tak,aby x1 menší x2,potom existuje číslo téta patřící do (x1,x2),pro které platí

            f(x2) - f(x1) = f´(téta).(x2 -x1).

Podle předpokladu f´(téta) větší 0.Kromě toho x2 - x1 větší 0.Propto f(x2) - f(x1) větší 0,proto f(x1) menší f(x2).Podobně se dokáže analogická věta pro klesající funkci.

Může se stát,že zjistíme,že funkce je klesající v každém intervalu,který je podmnožinou jejího definičního oboru,ale není klesající v jejich sjednocení. [Matematika] [Filosofie]