Uživatel:Jakuba Škrdla/Úvahy/Duality infinitezimálního počtu 9

Jan Masaryk

Čím více poznávám Rusy,tím radši mám Švédy.Síla ale stále působí v politice i v matematice.Z názoru ekonoma Lukáše Kovandy plyne,že slabé sankce budou mít za následek,že se opět ocitneme mezi dvěma nárazníky:Berlínem a Moskvou.Jenomže už nebude tlumič Ukrajina.Budeme jenom my a Slováci.

Diferenciální počet

Již jsme se setkali s pojmem

Derivace

I když jsme tento název neužili.Bylo to v souvislosti se směrnicí tečny.Hledali jsme tečnu ke křivce y = x na druhou v bodě [1,1].Její směrnici jsme našli tak,že jsme ji aproximovali směrnicí sečen

                     (x na druhou - 1)/(x - 1).
                     

Udělejme totéž obecněji.Misto paraboly y = x na druhou vezměme libovolnou křivku y = f(x) místo bodu [1,1] libovolný bod T0 ležící na křivce y = f(x).Označíme-li jeho x-ovou souřadnici x0 a y-vou souřadnici y0,pak bude platit y0 = f(x0)

Označme opět znakem x x-ovou souřadnici libovolného boduT ležícího na křivce f ,jeho y-ová souřadnice je y = f(x).Pak přímka T0T bude mít směrnici (f(x) - f(x0)/(x - x0).

Směrnici tečnyJestli taková přímka vůbec existuje,dostaneme jako limitu:

                       lim (f(x) - f(x0)/(x minus x0),x v bodě x0.
Říkáme,že funkce f má derivaci v bodě x0(nebo že je diferoncovatelná v bodě x0),když existuje

                     lim( f(x) - f(x0))/(x - x0),v bodě x0.
                     tak,že
==Dualita derivace==
Směrnici tečny křivky f v bodě T0 lze aproximovat směrnicí přímky T0T tak,že se bod T bude blížit k bodu T0 zprava,resp.zleva.Neboli bod x se bude blížit k bodu x0 zprava resp.zleva.Neboli čitatel i jmenvatel v limitním zlomku budou mít znaménka kladná resp.záporná.

Tuto limitu označujeme znakem  f´(x0) a nazýváme derivací funkce f v bodě x0.

Jednu aplikaci pojmu derivace již máme za sebou.Derivace f´(x0)(existuje-li),je směrnicí tečny křivky y = f(x) v bodě [x0,f(x0)].Rovnice této tečny je 
                     y - f(x0) = f´(x0)(x - x0).
                     
==Příklad==
Určeme rovnici tečny křivky y ==1/x v bodě [2,1/2].
Počítelme x se nerovná 2

                      (f(x) - f(2))/(x - 2) = ( (1/x) - 1/2))/(x - 2) = ((2 - X)/(2X))/(X - 2 ) = -(1/2X).
                      
Vidíme tedy,že:

                      f´(2) = lim ((f(x) - f(2))/(x - 2) v bodě 2  =lim-(1/2x),x v bodě 2,  = - 1/4.
                      
Rovnice tečny je:     y - 1/2 = -1/4(x - 2).
Neboli:               x plus 4y - 4 = 0.

K derivaci můžeme dospět i při řešení některých fyzikálních úloh.Např.po přímce se pohybuje hmotný bod tak,že jeho dráha s kterou projde od zvoleného počátku je funkcí času t,s = s(t).Jsou-li t0,t dva okamžiky,pak rozdíl s(t) - s(t0) určuje dráhu,kterou  

bod prošel za čas t - t0.Podíl

                       (s(t) - s(t0))/(t - t0)
je průměrná rychlost bodu v časovém intervalu (t0,t).Jde-li o poohyb rovnoměrný,rovná se tato průměrná rychlost okamžité rychlosti v okamžiku t0.Aby se u nerovnoměrného pohybu tato průměrná rychlost alespoň přibližně rovnala okamžité rychlosti v okamžiku t0,musíme vzít časový interval co nejkratší.Okamžitou rychlost v okamžiku t0 určíme jako limitu průměrné rychlosti pro t v okamžiku t0.

                       v(t0) = lim ( s(t) -s(t0))/(t - t0) v okamžiku t0.

[Matematika] [Filosofie]