Uživatel:Jakuba Škrdla/Úvahy/Duality infinitezimálního počtu 5

Polynomické funkce

Lze dokázat,že každá polynomická funkce je spojitá.Proto se snadno vypočte její limita,protože platí:

          lim f(x),x v bod a.= f(a).
Polynomická funkce je funkce,kde je pouze sčítání a násobení.Má-li tvar:
          f: y = a0 x na n plus a1 x na n-1 plus...plus an- 1 x plus an-1 ,a patří do R.Potom
          lim f(x),x v bodě a,=f(a).
Tvrzení se dokazuje  indukcí vzhledem ke stupni n dané polynomické funkce.Tvrzení platí pro n=1,neboť:
          lim(a0 x plus a1),x v bod a, = a0 a plus a1 =f(a).

Platí-li tvrzení pro nějaké n,dokážeme ho pro n plus 1.Nechť f je polynomická funkce n pus 1,pak:

          f(x) = a0 x na n-1 plus a1 x na n plus...plus an x plus a n plus 1=x(a0 x na n plus a1  x na n-1 plus...plus an) plus anplus1.Z toho,že tvrzení platí pro všechny polynomické funkce n-tého stupně olyne,že:  
          lim a0 a na n plus a1 a na n-1 plus...plus an.
Proto     lim(fx),x v bodě a,= lim x,x v bodě a, krat lim( a0  x  na n  plus...plus an),x v bodě a, plus an plus 1 = an a na n plus 1 plu...plus an a plus an plus 1 = f(a).

Pokračovaní

1