Uživatel:Jakuba Škrdla/Úvahy/Duality infinitezimálního počtu 18

Příklad

Pomocí pravidla derivace součinu určeme derivaci funkcí h:y = x na 3,k: y = x na 4.

Položme f: y = x na 2 , g: y = x,pak h(x) = f(x).g(x),k(x) = h(x) . g(x).Tedy

                  h´(x0) = 2x0 . x0 plus x na 2 . 1 = 3x0 na 2
                  k´(x0) = 3x0 na 2 . x0 plus x0 na 3 . 1 = 4x0 na 3.
                  

Pokusme se zobecnit výsledek tohoto příkladu.

Funkce f: y = x na n,kde n patří do N,má derivaci v každém x0 patřícím do R.přičemž platí

                  f´X0) = nx0 na(n-1)
                  

Indukce

Důkaz proveďme matematickou indukcí. Pro n = 1 vzorec platí,neboť funkce h: y ´= x má derivaci 1 = 1 . x0.

Nyní chceme z platnosti vzorce f´(x0) = n.x0 na (n-1) odvodit platnost vzorce g´(x0) = (n plus 1)x0 na n,kde g: y = x0 na (n plus 1).Je hřejmé,že g(x) = f(x) . hx).Podle větý o derivaci součinu

                g´(x0) = f´(x0) . h(x0) plus f(x0) .h´(x0) =
                =nx0 na (n-1) . x0 plus x0 na n . 1 = (n plus 1).x0 na n.
                

[Matematika] [Filosofie]