Uživatel:Jakuba Škrdla/Úvahy/Duality infinitezimálního počtu 14

Univerzialita fundamentu

Platí

           f: y = cos x má v libovolném bodě x0 v R derivaci f´ (x0) = - sin x0.
 
 Fundamentem důkazu je , jako u derivace sinu,opět lim sin x /x , x v 0, = 1,resp. lim sinh/h, h v o =1
 
 ==Lemma 1==
 Jestliže má funkce v bodě x0 derivaci,je v bodě x0 spojitá.
 
 Upravme
            f(x) - f(x0) = (((f (x) - f(x0))/(x - x0)(x - x0).

Protože

            lim (f(x) - f(x0)/(x - x0),x v x0,= f´(x0) a lim (x - x0), x v x0, = 0
       
      
Platí 
            lim (f(x) - f(x0)), x v x0, = f´(x0) . 0 = 0.

Z toho plyne,že

             lim f(x) ,x v x0, = lim [(f(x - f(x0)) plus f(x0)] x v x0 = 0 plus f(x0) = f(x0).