Matematika/Základní škola/9. třída

Kvadratické rovnice

Za kvadratickou rovnici s proměnnou x považujeme takovou rovnici, ve které se vyskytuje proměnná x v druhé mocnině (x², tzv. kvadratický člen), vedle toho se může, ale nemusí vyskytovat i x v první mocnině (x, tzv. lineární člen) a tzv. absolutní člen.

Úpravami známými z lineárních rovnic můžeme každou kvadratickou rovnici převést na tvar

$ax^{2}+bx+c=0$,

kde koeficient a je nenulový (jinak by to byla lineární, nikoli kvadratická rovnice), b a c mohou být i nulové (pak lze rovnici řešit jednodušeji).

Takto upravenou rovnici můžeme řešit třemi způsoby:

1. pomocí vzorce $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ (výraz ${\sqrt {b^{2}-4ac}}$ se nazývá diskriminant), který vám ve škole většinou předložili jako fakt k zapamatování,
2. postupnou úpravou na rozdíl čtverců, kdy rovnici převedete na tvar $(x+y)^{2}-z^{2}=0$ (v některých případech, typicky pro a rovno jedné a b sudé, může být toto řešení rychlejší než pomocí vzorce s diskriminantem),
3. převedením na součin tvaru $(x-u)\cdot (x-v)$, kde pro hodnoty u a v platí tzv. Vietovy vztahy $u\cdot v={\frac {c}{a}}$, $u+v=-{\frac {b}{a}}$ (dá se s výhodou užít pro malé celočíselné hodnoty koeficientů b a c, obě dělitelné a).

Úlohy k procvičení

Řešte rovnici $x^{3}+2x^{2}+x=3x(x+1)$

${\begin{array}{rcl}x^{3}+2x^{2}+x&=&3x^{2}+3x\\x^{3}-x^{2}-2x&=&0\\x(x^{2}-x-2)&=&0\end{array}}$

Máme první kořen $x_{1}=0$, dále řešíme běžnou kvadratickou rovnici $x^{2}-x-2=0$ pomocí vzorečku nebo rozložením na $(x+1)(x-2)=0$. Jejím vyřešením dostáváme další dva kořeny $x_{2}=-1$, $x_{3}=2$.