Matematika/Základní škola/9. třída

Kvadratické rovnice

Za kvadratickou rovnici s proměnnou x považujeme takovou rovnici, ve které se vyskytuje proměnná x v druhé mocnině (x², tzv. kvadratický člen), vedle toho se může, ale nemusí vyskytovat i x v první mocnině (x, tzv. lineární člen) a tzv. absolutní člen (tedy číslo).

Úpravami známými z lineárních rovnic můžeme každou kvadratickou rovnici převést na tvar

$a x^{2} + b x + c = 0$ ,

kde koeficient a je nenulový (jinak by to byla lineární, nikoli kvadratická rovnice), b a c mohou být i nulové (pak lze rovnici řešit jednodušeji).

Takto upravenou rovnici můžeme řešit třemi způsoby:

pomocí vzorce $x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ (výraz $\sqrt{b^{2} - 4 a c}$ se nazývá diskriminant), který vám ve škole většinou předložili jako fakt k zapamatování,
postupnou úpravou na rozdíl čtverců, kdy rovnici převedete na tvar $(x + y)^{2} - z^{2} = 0$ (kde jsou y a z reálná čísla; v některých případech, typicky pro a rovno jedné a b sudé, může být toto řešení rychlejší než pomocí vzorce s diskriminantem),
převedením na součin tvaru $(x - u) \cdot (x - v)$ , kde pro hodnoty u a v platí tzv. Vietovy vztahy $u \cdot v = \frac{c}{a}$ , $u + v = - \frac{b}{a}$ (dá se s výhodou užít pro malé celočíselné hodnoty koeficientů b a c, obě dělitelné a).

Úlohy k procvičení

Řešte rovnici $x^{3} + 2 x^{2} + x = 3 x (x + 1)$

$\begin{matrix} x^{3} + 2 x^{2} + x & = & 3 x^{2} + 3 x \\ x^{3} - x^{2} - 2 x & = & 0 \\ x (x^{2} - x - 2) & = & 0 \end{matrix}$

Máme první kořen $x_{1} = 0$ , dále řešíme běžnou kvadratickou rovnici $x^{2} - x - 2 = 0$ pomocí vzorečku nebo rozložením na $(x + 1) (x - 2) = 0$ . Jejím vyřešením dostáváme další dva kořeny $x_{2} = - 1$ , $x_{3} = 2$ .