Limita funkce

Příklad 1)

$\lim _{x\to {\frac {\pi }{8}}}{\frac {cotg2x-1}{1-2cos^{2}2x}}$

wolfram

Ukázkový postup výpočtu mi přijde dost komplikovaný.

numberempire

Zkusíme konkurenci numberempire.com:

(cot(2*x)-1)/(1-2*cos(2*x)^2)
limit variable: x
Compute at: pi/8
Limit type: two-sided

Kupodivu to nevyčíslí výraz a neukáže postup výpočtu.

wolfram

Tak se vrátíme k Wolframu a zkusíme mu trochu napovědět, na co nepřišel:

namísto 2x budeme psát x a v souladu s tím upravíme i limitu:
lim (x->pi/4) (cotg x - 1)/(1 - 2 cos^2 x)
= -1

Opět dost komplikovaný postup. Tak zkusíme použít rovnou l'Hospitalovo pravidlo a derivovat čitatele a jmenovatele:

čitatel: (cotg x - 1)'
- = - csc^2 x = -1/sin^2 x
jmenovatel: (1 - 2 cos^2 x)'
- = 4 sin x cos x
dosadíme do původního zlomku: -1/(4 sin^2 x sin x cos x)
a dosadíme x = pi/4: -1/(4 sin^2 (pi/4) sin (pi/4) cos (pi/4))
= -1

ruční výpočet s komentářem

$\lim _{x\to {\frac {\pi }{8}}}{\frac {\operatorname {cotg} {2x}-1}{1-2\cos ^{2}{2x}}}=$

(substituce y = 2x)

$=\lim _{x\to {\frac {\pi }{4}}}{\frac {\operatorname {cotg} {y}-1}{1-2\cos ^{2}y}}=$

Vídíme, že po dosazení má limita tvar 0/0, proto použijeme L’Hospitalovo pravidlo a derivujeme zvlášť čitatele a jmenovatele:

$=\lim _{x\to {\frac {\pi }{4}}}{\frac {\frac {-1}{\sin ^{2}{y}}}{-2(2.\cos {y}).(-\sin {y})}}=\lim _{x\to {\frac {\pi }{4}}}{\frac {-1}{4\sin ^{2}{y}.\cos {y}.\sin {y}}}$

Po dosazení funkčních hodnot

$\cos {\frac {\pi }{4}}=\sin {\frac {\pi }{4}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}$

dostaneme

${\frac {-1}{4\sin ^{2}{\frac {\pi }{4}}.\cos {\frac {\pi }{4}}.\sin {\frac {\pi }{4}}}}={\frac {-1}{4({\frac {\sqrt {2}}{2}})^{2}.{\frac {\sqrt {2}}{2}}.{\frac {\sqrt {2}}{2}}}}={\frac {-1}{4.{\frac {2}{4}}.{\frac {2}{4}}}}={\frac {-1}{1}}=-1$