Konvexnost a konkávnost funkce
Konvexnost a konkávnost funkce
[editovat]Na první pohled to vypadá nelogicky, ale můžu si to představit tak, že se na graf funkce koukám jakoby odspoda:
- konkávní = doslova: vydutý, u funkce: např. tvar hrbu nahoru, ale odspoda to vypadá jako vnitřek misky
- konvexní = doslova: vypuklý, u funkce: např. tvar údolí, ale odspoda to vypadá jako vypouklina
Anebo si představím, že jedu autem zhruba ve směru osy x a auto mi kreslí čáru, tak:
- při zatáčení doprava je ta funkce konkávní
- při zatáčení doleva je ta funkce konvexní
(Samozřejmě nemůžu jet dokolečka, x musí stále narůstat, aby to byla funkce!)
- Pokud zatáčím chvíli doleva a chvíli zase doprava (jako v reálu), pak je ta funkce chvíli (tj. na určitém intervalu) konkávní a chvíli zase konvexní.
- Pokud jedu chvíli zcela rovně, pak je tak funkce v tomto intervalu lineární (je zároveň konvexní i konkávní)
- Pokud ze zatáčky na jednu stranu přejdu hned do zatáčky na druhou stranu, tak vlastně volant mi míří rovně pouze v jednom okamžiku, v jednom bodě, a tomu se říká inflexní bod.
Jak zjistím, kde je funkce konvexní, konkávní, lineární a kde jsou inflexní body? Spočtu druhou derivaci funkce a pak rozlišuji případy:
- ⇒ fce je konkávní
- ⇒ fce je lineární anebo se jedná o inflexní bod
- ⇒ fce je konvexní
Z výše uvedené definice je vidět, že lineární fce je zároveň konkávní i konvexní.
Když chceme vyloučit případy, kdy "auto jede rovně" (tj. lineární, přímé úseky funkce, a inflexní body), zavádíme pomocí ostrých nerovností pojmy ryze konkávní a ryze konvexní:
- ⇒ fce je ryze konkávní
- ⇒ fce je ryze konvexní
Zjistím, pro jaká x nastává který případ a tím pádem zjistím, v jakých bodech či intervalech je funkce jaká.
Podrobnější čtení
[editovat]Příklady na procvičování
[editovat]Zkuste nejdříve spočítat sami. Potom rozklikněte číslo příkladu a zkontrolujte si výsledek, porovnejte postup a pokud přijdete na elegantnější řešení, neváhejte je tam uvést! Diskutujte na příslušné diskusní stránce.
