Konvexnost a konkávnost funkce

Z Wikiverzity
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Konvexnost a konkávnost funkce[editovat]

Na první pohled to vypadá nelogicky, ale můžu si to představit tak, že se na graf funkce koukám jakoby odspoda:

  • konkávní = doslova: vydutý, u funkce: např. tvar hrbu nahoru, ale odspoda to vypadá jako vnitřek misky
  • konvexní = doslova: vypuklý, u funkce: např. tvar údolí, ale odspoda to vypadá jako vypouklina

Anebo si představím, že jedu autem zhruba ve směru osy x a auto mi kreslí čáru, tak:

  • při zatáčení doprava je ta funkce konkávní
  • při zatáčení doleva je ta funkce konvexní

(Samozřejmě nemůžu jet dokolečka, x musí stále narůstat, aby to byla funkce!)

  • Pokud zatáčím chvíli doleva a chvíli zase doprava (jako v reálu), pak je ta funkce chvíli (tj. na určitém intervalu) konkávní a chvíli zase konvexní.
  • Pokud jedu chvíli zcela rovně, pak je tak funkce v tomto intervalu lineární (je zároveň konvexní i konkávní)
  • Pokud ze zatáčky na jednu stranu přejdu hned do zatáčky na druhou stranu, tak vlastně volant mi míří rovně pouze v jednom okamžiku, v jednom bodě, a tomu se říká inflexní bod.

Jak zjistím, kde je funkce konvexní, konkávní, lineární a kde jsou inflexní body? Spočtu druhou derivaci funkce a pak rozlišuji případy:

  • ⇒ fce je konkávní
  • ⇒ fce je lineární anebo se jedná o inflexní bod
  • ⇒ fce je konvexní

Z výše uvedené definice je vidět, že lineární fce je zároveň konkávní i konvexní.

Když chceme vyloučit případy, kdy "auto jede rovně" (tj. lineární, přímé úseky funkce, a inflexní body), zavádíme pomocí ostrých nerovností pojmy ryze konkávní a ryze konvexní:

  • ⇒ fce je ryze konkávní
  • ⇒ fce je ryze konvexní

Zjistím, pro jaká x nastává který případ a tím pádem zjistím, v jakých bodech či intervalech je funkce jaká.

Podrobnější čtení[editovat]

Příklady na procvičování[editovat]

Zkuste nejdříve spočítat sami. Potom rozklikněte číslo příkladu a zkontrolujte si výsledek, porovnejte postup a pokud přijdete na elegantnější řešení, neváhejte je tam uvést! Diskutujte na příslušné diskusní stránce.

  • 1)