Matematika/Výpočet obsahu rovinných útvarů/Základní rovinné útvary
Trojúhelníky[editovat]
Obecný trojúhelník[editovat]
, kde a je délka některé ze stran, va je výška z protilehlého vrcholu na tuto stranu. Lze odvodit jako polovinu obsahu kosodélníka (viz níže) se stejnou stranou a výškou.
V učivu základní školy se používá spíše označení z pro základnu (kteroukoli vybranou stranu) a v pro příslušnou výšku, tedy:
.
Pravoúhlý trojúhelník[editovat]
Odvěsny jsou k sobě navzájem výškami (neboli , ), tedy:
, kde a, b jsou délky odvěsen. Lze odvodit jako polovinu obsahu obdélníka se stejnými délkami stran.
Rovnostranný trojúhelník[editovat]
Z délky strany lze podle Pythagorovy věty () nebo pomocí goniometrických funkcí (, kde ) spočítat i výšku (). Tedy:
.
Rovnoramenný trojúhelník[editovat]
Máme dánu délku základny a a velikost úhlu mezi ramenem a základnou α. Výšku tohoto trojúhelníku spočítáme pomocí goniometrických funkcí jako . Tedy:
.
Zvláštním případem rovnoramenného trojúhelníku pro je rovnostranný trojúhelník, přitom , po dosazení a úpravě skutečně dostáváme vzorec v předchozí sekci.
Pokud použijeme , máme pravoúhlý trojúhelník o přeponě a, přitom , po dosazení dostáváme a opravdu – tento trojúhelník je čtvrtinou čtverce o straně a, rozřezaného podél obou úhlopříček.
Čtyřúhelníky[editovat]
Obdélník a čtverec[editovat]
, kde a, b jsou délky stran
Pro čtverec platí , a tedy .
Kosodélník a kosočtverec[editovat]
Kosodélník a kosočtverec (obecně rovnoběžník ležící na delší ze stran, kde a je tato delší strana a va příslušná výška) lze svisle rozříznout na pravoúhlý trojúhelník a pravoúhlý lichoběžník, jejichž složením vznikne obdélník o stranách a, va, tedy
.
Pokud známe velikost vnitřního úhlu kosočtverce, umíme pomocí goniometrických funkcí spočítat výšku (), tedy
.
Pro kosočtverec s vnitřními úhly a máme a dostáváme tedy , což je dvojnásobek plochy rovnostranného trojúhelníku, který vznikne rozpůlením kosočtverce po kratší úhlopříčce.
Lichoběžník[editovat]
Lichoběžník, jehož dvě rovnoběžné strany (základny) mají délky a1 a a2, můžeme po diagonále rozdělit na dva trojúhelníky o stranách (základnách) a1 a a2 a stejné výšce va. Obsah lichoběžníka je roven součtu jejich obsahů:
.
Kruh[editovat]
nebo , kde r je poloměr a d je průměr kruhu ().