Matematika/Výpočet obsahu rovinných útvarů/Základní rovinné útvary

Trojúhelníky

Obecný trojúhelník

$S={\frac {a.v_{a}}{2}}$, kde a je délka některé ze stran, v_a je výška z protilehlého vrcholu na tuto stranu. Lze odvodit jako polovinu obsahu kosodélníka (viz níže) se stejnou stranou a výškou.

V učivu základní školy se používá spíše označení z pro základnu (kteroukoli vybranou stranu) a v pro příslušnou výšku, tedy:

$S={\frac {z.v}{2}}$.

Pravoúhlý trojúhelník

Odvěsny jsou k sobě navzájem výškami (neboli $a=v_{b}$, $b=v_{a}$), tedy:

$S={\frac {a.b}{2}}$, kde a, b jsou délky odvěsen. Lze odvodit jako polovinu obsahu obdélníka se stejnými délkami stran.

Rovnostranný trojúhelník

Z délky strany lze podle Pythagorovy věty ($v_{a}={\sqrt {a^{2}-{\frac {a^{2}}{4}}}}$) nebo pomocí goniometrických funkcí ($v_{a}=a.\sin {\alpha }$, kde $\alpha ={\frac {\pi }{3}}=60^{\circ }$ ) spočítat i výšku ($v_{a}=a.{\frac {\sqrt {3}}{2}}$). Tedy:

$S=a^{2}.{\frac {\sqrt {3}}{4}}$.

Rovnoramenný trojúhelník

Máme dánu délku základny a a velikost úhlu mezi ramenem a základnou α. Výšku tohoto trojúhelníku spočítáme pomocí goniometrických funkcí jako $v_{a}={\frac {a}{2}}.\operatorname {tg} {\alpha }$. Tedy:

$S={\frac {a^{2}}{4}}.\operatorname {tg} {\alpha }$.

Zvláštním případem rovnoramenného trojúhelníku pro $\alpha ={\frac {\pi }{3}}$ je rovnostranný trojúhelník, přitom $\operatorname {tg} {\frac {\pi }{3}}={\sqrt {3}}$, po dosazení a úpravě skutečně dostáváme vzorec $S=a^{2}.{\frac {\sqrt {3}}{4}}$ v předchozí sekci.

Pokud použijeme $\alpha ={\frac {\pi }{4}}$, máme pravoúhlý trojúhelník o přeponě a, přitom $\operatorname {tg} {\frac {\pi }{4}}=1$, po dosazení dostáváme $S={\frac {a^{2}}{4}}$ a opravdu – tento trojúhelník je čtvrtinou čtverce o straně a, rozřezaného podél obou úhlopříček.

Čtyřúhelníky

Obdélník a čtverec

$S=a.b$, kde a, b jsou délky stran

Pro čtverec platí $a=b$, a tedy $S=a^{2}$.

Kosodélník a kosočtverec

Kosodélník a kosočtverec (obecně rovnoběžník ležící na delší ze stran, kde a je tato delší strana a v_a příslušná výška) lze svisle rozříznout na pravoúhlý trojúhelník a pravoúhlý lichoběžník, jejichž složením vznikne obdélník o stranách a, v_a, tedy

$S=a.v_{a}$.

Pokud známe velikost vnitřního úhlu kosočtverce, umíme pomocí goniometrických funkcí spočítat výšku ($v=a.\sin {\alpha }$), tedy

$S=a^{2}.\sin {\alpha }$.

Pro kosočtverec s vnitřními úhly ${\frac {\pi }{3}}=60^{\circ }$ a ${\frac {2\pi }{3}}=120^{\circ }$ máme $v_{a}=a.{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ a dostáváme tedy $S=a^{2}.{\frac {\sqrt {3}}{2}}$, což je dvojnásobek plochy rovnostranného trojúhelníku, který vznikne rozpůlením kosočtverce po kratší úhlopříčce.

Lichoběžník

Lichoběžník, jehož dvě rovnoběžné strany (základny) mají délky a₁ a a₂, můžeme po diagonále rozdělit na dva trojúhelníky o stranách (základnách) a₁ a a₂ a stejné výšce v_a. Obsah lichoběžníka je roven součtu jejich obsahů:

$S={\frac {(a_{1}+a_{2}).v_{a}}{2}}$.

Kruh

$S=\pi .r^{2}$ nebo $S=\pi .{\frac {d^{2}}{4}}$, kde r je poloměr a d je průměr kruhu ($r={\frac {d}{2}}$).