Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.
V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 48: 111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 48: 111111111111111111111111111111111111111111111111(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 100000000000000010000000000000001(z) * 1111111111111111(z). (To je dále součinem 11111111 * 100000001, viz Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 16). V každě soustavě je i číslo 100000000000000010000000000000001(z) dále dělitelné číslem 10000000100000001(z). Zároveň je repunit o délce 48 také součinem 111111111111111111111111(z) * 1000000000000000000000001, přičemž číslo 1000000000000000000000001(z) je dělitelné 100000001(z). Tento podíl je vždy ve tvaru gggggggg00000001, kde g = 10(z) - 1. Ne v každé soustavě je gggggggg00000001(z) prvočíslo, tak jak je tomu například v desítkové soustavě (9999999900000001).
Číslo gggggggg00000001(z) můžeme získat také takto: (z4 + 1) * z8 * ((z2 + 1) * (z2 - 1) + 1 neboli (z8 * (z8 -1)) + 1.
Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
Pokud číslo gggggggg00000001(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 48, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem. Obecná značka: gggggggg00000001.
Pokud tento podíl je prvočíslem, je v dané soustavě unikátním prvočíslem, v opačném případě není.
Prvočísla o délce p.h. l = 48 vždy vyhovují vzorci 48n + 1.
Poznámka: unikátní prvočísla o délce p.h. = 6 jsou ve tvaru g1; unikátní prvočísla o délce p.h. = 12 jsou ve tvaru gg01; unikátní prvočísla o délce p.h. = 18 jsou ve tvaru ggg001 atd. pro U = 6n. S rostoucí délkou U frekvence výskytu silně klesá, u mnohých z zcela zaniká. U lichých n navíc přistupuje možnost dělitelnosti třemi, čímž dostáváme U v jiném tvaru (případně součin faktorů, jejichž délka p.h. = 6n).