Prvočísla/Charakteristiky prvočísel

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, zbytek v je znám od počátků novověku; vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Protože jsem výzkum provedl pouze já, bez přímé součinnosti s kýmkoliv jiným, a i z jiných důvodů (např. šetření místem/objemem článku), zabývá se pouze velmi úzkým aspektem vlastností prvočísel. kusurija.

Co obvykle víme o prvočíslech

Nejčastěji pouze fakt, že je prvočíslem. U obrovských prvočísel, objevených v poslední době, je to jedna z mála ucelených infornací, která jsou známa o daném prvočísle. Samozřejmě, existuje mnoho nadšenců (nebo z jiných důvodů zasvěcených), kteří mohou vyjmenovat ještě mnoho dalších vlastností, často i důležitých (například příslušnost k té či oné skupině/třídě čísel). Můj výzkum se zabývá velmi úzkou oblastí, která má vztah k délce period převrácených hodnot prvočísel v různých číselných soustavách.

Délka periody převrácené hodnoty

Na základních školách se v této otázce můžeme někdy setkat s nezcela přesnou a nepřesně vymezující oblast "účinnosti" základní/"kardinální" poučkou: "Délka periody převrácené hodnoty prvočísla je rovna toto prvočíslo mínus jedna." Příklad: 1/7 = 0,142857... přičemž řetězec 142857 o délce 6 (=7-1) cifer se periodicky nekonečně opakuje. Čímž je řečeno pouze A, B a mnoho dalšího se již nevykládá. Mezi ona nevyřčená B a další by příslušelo dodat: Tak tomu je v některých určitých číselných soustavách. To, ve kterých soustavách tomu tak je, přesněji: která je nejnižší číselná soustava, ve které tomu tak je (délka periody je maximální možná), patří mezi nejzákladnější vlastnosti/charakteristiky tohoto prvočísla. U prvočísla 7 je to trojková soustava. Z této základní charakteristiky lze odvodit i všechy vedlejší charakteristiky (blíže v článku/rozcestníku Délky period převrácených hodnot prvočísel). Protože platí, že stejná délka převrácené hodnoty prvočísla p (dále jen l), jaká je v číselné soustavě o základu a (dále jen z) (z₀), je i ve všech dalších soustavách z, pro které platí z_m = z₀ + p tato délka l shodná. Tedy pro "naši" známou desítkovou soustavu pro p=7 platí totéž co pro trojkovou soustavu o délce l: l = 6. Stejně jako v sedmnáctkové, čtyřiadvacítkové, jednatřicítkové atd. soustavách, ale též pětkové, dvanáctkové, devatenáctkové atd. Což je ovšem jinak, než v soustavě dvojkové, tam je l = 3, stejně, jako v devítkové, šestnáctkové, třiadvacítkové, třicítkové atd. soustavách, ale též ve čtyřkové, jedenáctkové, osmnáctkové atd.

Další příklad: p=13. Základní charakteristikou tohoto prvočísla je, že nejnižší z, ve které je l maximální je 2. Další pravidlo (blíže v článku/rozcestníku Délky period převrácených hodnot prvočísel), praví, že v z = z₀² je délka periody l poloviční, než l₀, pokud je toto l₀ dělitelné dvěma (=sudé) nebo rovno l₀, pokud je toto l₀ nedělitelné dvěma (=liché), podobně je tomu s dalšími mocninami z₀: v z = z₀³ je délka periody l třetinová, než l₀, pokud je toto l₀ dělitelné třemi nebo je rovno l₀, pokud je toto l₀ nedělitelné třemi, v z = z₀⁴ je délka periody l čtvrtinová, než l₀, pokud je toto l₀ dělitelné čtyřmi nebo je poloviční, pokud je l₀ dělitelné dvěma, ale nedělitelné čtyřmi, nebo je rovno l₀, pokud je toto l₀ nedělitelné dvěma atd. Čímž dostáváme, že v z = 4 (2²) je l = 6 (a podle dalšího pravidla, vztahujícího se pouze na l = 3 a = 6; v z = 3 (4 - 1) je l = 3), v z = 8 (2³) je l = 4 (12/3), v z = 16 (2⁴), stejně jako z = 3 (16-13) je l = 3, v z = 32 (2⁵), stejně jako z = 19 a v z = 6 (32 - n*13) je l = 12 (12 není dělitelné 5), v z = 64 (2⁶), stejně jako z = 51, z = 38, z = 25 a v z = 12 (64 - n*13) je l = 2, atd. Tímto postupem (nebo za využití dalších pravidel (blíže v článku/rozcestníku Délky period převrácených hodnot prvočísel)) dostaneme rozložení délek l pro p = 13 v jednotlivých soustavách: (uvedeno zkáceně ve tvaru z/l (z - příslušná číselná soustava; l - délka periody p.h. p = 13): 2/12; 3/3; 4/6; 5/4; 6/12; 7/12; 8/4; 9/3; 10/6; 11/12; 12/2; 13/0; 14/1. Podle pravidla o stejných délkách l v z_m = z₀ + p další informace nejsou zapotřebí. Z toho také vyplývá, proč "okleštěné" (od informace B a další) pravidlo, nahoře uvedené, selhává v desítkové soustavě o prvočísle 13: jeho l není 12 (maximální možná) ale jen 6. Totéž platí i v nekonečném množství číselných soustav, ale jen těch z_m, pro které platí: z_m = z₀ + 13, kde z₀ jsou 4 a 10.

Délka periody převrácené hodnoty mocnin prvočísel

Obecně pro délku l druhé mocniny prvočísla p² v dané soustavě z platí jedna ze dvou možností: častější - l _p^2 = l _p * p. Tedy, pokud l ₇ je v dané z = 6, potom l ₄₉ = 6 * 7 = 42. Pokud l ₇ je v jiné soustavě z = 3, potom v této soustavě je l ₄₉ = 3 * 7 = 21. Pokud platí tato možnost, potom i l _p^n je l_p * p^n-1. V některých soustavách z je ovšem situace jiná, tam l _p^2 = l_p (stejná). Teprve u 3 (a vyšších) mocniny je délka l _p^3 = l_p^2 * p. Opět, pokud se nejedná o další situaci, kdy i třetí mocnina má stejnou délku l. Potom teprve čtvrtá mocnina má délku p krát delší než základní a podobně až do nekonečna. Tyto "výjimky" nejsou ve skutečnosti výjimkami, ale "železnou" zákonitostí. Hodnoty z těchto odlišností patří mezi základní charakteristiky prvočísel, ovšem odvozené od charakteristiky základní, t.j. (minimální (nebo jakákoliv)) hodnota z, pro kterou l = k.

Moje vlastní terminologie pro tento článek

kořen (značka: k): k = p - 1. Maximální možná délka periody převrácené hodnoty prvočísla.
l - konkrétní délka periody převrácené hodnoty prvočísla v dané číselné soustavě (nebo jinak specifikovaná/odvozená)
polosudý, -á, -é - (značka: h): dělitelný 2 a zároveň nedělitelný 4. Vyhovuje vzorci h = (2n + 1)* 2. Ve skutečnosti sudý.
ssudý (supersudý, super-even), -á, -é - (značka: x): dělitelný 4. Vyhovuje vzorci x = 4n (použití nejen pro čísla (2n + 1)* 4)
p - značka pro prvočíslo (obecně používaná)
z - základ číselné soustavy a (a je obecně používaná značka, zde však použiji značku z, protože je zároveň značkou pro zbytek po dělení)
*, ∙, těsné sousedství symbolů, z nichž druhý (a/i/nebo další) je neciferný (algebraický - písmeno, značka) znaky násobení. (obecně používané)
^; číslo nebo písmeno/značka v horním indexu vpravo - znaky pro umocňování. (obecně používané)
l _k - l = k, tedy maximální možná délka periody p.h. (pokud není uvedeno jinak/v jiné souvislosti, znamená nejmenší z, pro kterou je tato l _k, tedy maximální). Základní charakteristika prvočísla, všechny ostatní charakteristiky z ní lze vypočíst. Pro polosudá k je jako základní charakteristika vhodnější l _k/2, protože pro tyto délky platí, že soustava p - l _k/2 má l _k. Značka: χ.
l _(z) - l v dané soustavě z.
l _n - l = n. Za dvojtečkou následuje nejmenší z, pro kterou l = n. Poznámka: je-li index v závorce, jedná se o soustavu z (v soustavě z), je-li bez závorky, jedná se o délku periody.
l _p - l pro dané prvočíslo p.
l _(^2) - soustava z, ve které je l _p^2 rovno l _p a nikoliv l _p * p.

K čemu je dobrá znalost l _k

Spíše bych měl vysvětlit, jaké problémy by přinesla její neznalost. Dejme tomu, že máme nějaké poměrně velké prvočíslo p_R. Například repunitové prvočíslo (ale může to být i jakkoliv jinak "získané" p). Dejme tomu, že není zas až tak obrovské, že jsme schopni provést faktorizaci (rozklad na prvočinitele) jeho k. A podle způsobu jeho "získání" (nebo i jinak), známe délku periody převrácené hodnoty l, která je podstatně menší, než k, v číselné soustavě z. Potom se můžeme o jiných délkách vyjádřit pouze v tom smyslu, co vyplývá ze zbytků po dělení v té číselné soustavě - a to jsou délky buď rovné zjištěnému l, nebo jeho celistvým zlomkům. O násobcích té délky (pokud se vyskytuje v množině dělitelů k) bychom se mohli dozvědět pouze náhodně, kdybychom mezi zbytky po dělení našli odpovídající mocninu zbytku z, pocházejícího z jiné soustavy. Což například u repunitových prvočísel nepřipadá v úvahu, tam se vyskytují pouze mocniny té číselné soustavy, ze které je repunitové prvočíslo odvozeno. Čím je p větší, tím je zjišťování (jiného l, než které vyplývá ze způsobu "obdržení" p) l obtížnější. Pro největší známá p si troufám odhadnout, že už jen faktorizace jejich k je nad síly dnešní techniky, natož zjištění, ve které z je l _k.

Charakteristiky prvočísel

Menší než 10

2 - Tato charakteristika je pro mne příliš složitá, nerozumím tomu, proto se vzdávám jejího uvedení; způsobuje mnoho zajímavých odchylek, vymyká se některým pravidlům...
3 - Podobně jako u dvojky. Protože však je velmi důležitá pro "naši" desítkovou soustavu, několik nesouvislých poznámek: k = 2. l _k:z = 2 (dále jen: l _k:2). k/2 = 1. l _k/2:z = 4. Tato skutečnost koresponduje s l ₁₀ = 1, protože 10 = 4 + 2*3. Protože 3 je velmi malé prvočíslo, existuje poměrně velmi mnoho repunitových prvočísel o délce R = 3. Zároveň tato délka repunitu má výjimečnou vlastnost: - viz článek Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3: 3. bod teorie. Pro l _(^2) = 1 z = 10, pro l _(^2) = 2 z = 8. Pro l _(^3) = 1 z = 28, pro l_(^3) = 2 z = 26. Nejmenší repunitové prvočíslo (R=2;z=2)
5 - k = 4 = 2∙2. l _k:2, l _k/2:4. l _(^2) = 4:z=7; l _(^2) = 2:z=24; l _(^3) = 4:z=57; l _(^4) = 4:z=182; l _(^5) = 4:z=1068; l _(^6) = 4:z=také 1068; l _(^7) = 4:z=32318... R 5.
7 - k = 6 = 2∙3. l _k/2:2. l _(^2) = 3:z=18; l _(^3) = 3:z=také 18; l _(^4) = 3:z=1047; l _(^5) = 3:z=1353; l _(^6) = 3:z=34967... R 7.

11 - 47

11 - k = 10 = 2∙5. l _k/2:3. l _(^2) = 5:z=také 3; l _(^3) = 5:z=124; l _(^4) = 5:z=1963; l _(^5) = 5:z=37107; l _(^6) = 5:z=1013015... R 11.
13 - k = 12 = 2^2∙3. l _k:2; l ₃:3; l ₄:5. l _(^2) = 12:z=19; l _(^3) = 12:z=418; l _(^4) = 12:z=4812; l _(^5) = 12:z=119056; l _(^6) = 12:z=1965658...
17 - k = 16 = 2^4. l _k:3, l ₄:4. l _(^2) = 16:z=40; l _(^3) = 16:z=158; l _(^4) = 16:z=4260; l _(^5) = 16:z=162782... R 17.
19 - k = 18 = 2∙3^2. l _k/2:4, l ₃:7. l _(^2) = 9:z=28; l _(^3) = 9:z=956; l _(^4) = 9:z=20244; l _(^5) = 9:z=333257... R 19.
23 - k = 22 = 2∙11. l _k/2:2. l _(^2) = 11:z=118; l _(^3) = 11:z=1764; l _(^4) = 11:z=19214; l _(^5) = 11:z=4888359... R 23.
29 - k = 28 = 2^2∙7. l _k:2, l ₄:12, l ₇:7. l _(^2) = 28:z=14; l _(^3) = 28:z=1215; l _(^4) = 28:z=2463; l _(^5) = 28:z=2145017... R 29.
31 - k = 30 = 2∙3∙5. l _k/2:7, l ₃:5; l ₅:2. l _(^2) = 15:z=235; l _(^3) = 15:z=6962; l _(^4) = 15:z=15714; l _(^5) = 28:z=5890815... R 31.
37 - k = 36 = 2^2∙3^2. l _k:2; l ₉:7, l ₄:6. l _(^2) = 36:z=18; l _(^3) = 36:z=2262; l _(^4) = 36:z=241368; l _(^5) = 36:z=2378429... R 37.
41 - k = 40 = 2^3∙5. l _k:6; l ₈:3; l ₅:10. l _(^2) = 40:z=313; l _(^3) = 40:z=1172; l _(^4) = 40:z=20677; l _(^5) = 40:z=649828... R 41.
43 - k = 42 = 2∙3∙7. l _k/2:9; l ₇:4. l _(^2) = 21:z=210; l _(^3) = 21:z=4059; l _(^4) = 21:z=573171; l _(^5) = 21:z=3228564... R 43.
47 - k = 46 = 2∙23. l _k/2:2. l _(^2) = 23:z=53; l _(^3) = 23:z=10390; l _(^4) = 23:z=225947... R 47.

Protože všechny údaje, uvedené navíc po základních charakteristikách (1. faktorizace k a 2. nejmenší z pro l _k (ssudá k) resp. pro l _k/2 (polosudá k) - dále ji budu označovat v tabulce symbolem χ) lze snadno z těchto údajů odvodit/vypočítat, uvedu tyto údaje dále již koncentrovaně v tabulce. Prvočísla s polosudým k a jejich odpovídající χ pro jistotu označím * (hvězdičkou). Připomínám, že (pouze) u polosudých k platí pro z = p - χ(l _k/2) je délka l dvojnásobná, čili =k.

Tabulky pro p 53 - 157, 163 - 277, 281 - 397

Tabulka charakteristik p 53 - 157
p	53	59*	61	67*	71*	73	79*	83*	89	97	101	103*	107*	109	113	127*	131*	137	139*	149	151*	157
f k	2^2∙13	2∙29	2^2∙3∙5	2∙3∙11	2∙5∙7	2^3∙3^2	2∙3∙13	2∙41	2^3∙11	2^5∙3	2^2∙5^2	2∙3∙17	2∙53	2^2∙3^3	2^4∙7	2∙3^2∙7	2∙5∙13	2^3∙17	2∙3∙23	2^2∙37	2∙3∙5^2	2^2∙3∙13
χ	2	3*	2	4*	2*	5	2*	3*	3	5	2	2*	3*	6	3	9*	3*	3	4*	2	5*	5

Tabulka charakteristik (pokračování) p 163 - 277
p	163*	167*	173	179*	181	191*	193	197	199*	211*	223*	227*	229	233	239*	241	251*	257	263*	269	271*	277
f k	2∙3^4	2∙83	2^2∙43	2∙89	2^2∙3^2∙5	2∙5∙19	2^6∙3	2^2∙7^2	2∙3^2∙11	2∙3∙5∙7	2∙3∙37	2∙113	2^2∙3∙19	2^3∙29	2∙7∙17	2^4∙3∙5	2∙5^3	2^8	2∙131	2^2∙67	2∙3^3∙5	2^2∙3∙23
χ	4*	2*	2	3*	2	2*	5	2	2*	4*	9*	3*	6	3	2*	7	3*	3	2*	2	2*	5

Tabulka charakteristik (pokračování) p 281 - 397
p	281	283*	293	307*	311*	313	317	331*	337	347*	349	353	359*	367*	373	379*	383*	389	397
f k	2^3∙5∙7	2∙3∙47	2^2∙73	2∙3^2∙17	2∙5∙31	2^3∙3∙13	2^3∙79	2∙3∙5∙11	2^4∙3∙7	2∙173	2^2∙3∙29	2^5∙11	2∙179	2∙3∙61	2^2∙3∙31	2∙3^3∙7	2∙191	2^2∙97	2^2∙3^2∙11
χ	3	6*	2	7*	2*	10	2	5*	10	3*	2	3	2*	2*	2	4*	2*	2	5

Tabulky pro p 401 - 521, 523 - 631, 641 - 757, 761 - 883

Poznámky:

Protože u číselných soustav se pravděpodobně nedopracuji k l více, než 400, nebudu dále uvádět odkazy při větších délkách než 400 s výjimkou soustav z > 9.
U prvočísel, u kterých k má více než 20 možných různých dělitelů (výjimečně i jindy), budu uvádět i vybraná l _n. (Pokud možno nesoudělná l; z o délce l _{n1 * n2} získáme vynásobením z₁ * z₂, v případě potřeby výpočtem patřičného modulu k p).

Tabulka charakteristik (pokračování) p 401 - 521
p	401	409	419*	421	431*	433	439*	443*	449	457	461	463*	467*	479*	487*	491*	499*	503*	509	521
f k	2^4∙5^2	2^3∙3∙17	2∙11∙19	2^2∙3∙5∙7	2∙5∙43	2^4∙3^3	2∙3∙73	2∙13∙17	2^6∙7	2^3∙3∙19	2^2∙5∙23	2∙3∙7∙11	2∙233	2∙239	2∙3^5	2∙5∙7^2	2∙3∙83	2∙251	2^2∙127	2^3∙5∙13
χ	3	21 l ₁₇: 5	3*	2 l ₅: 252; l ₇: 33	5*	5	5*	3*	3	13	2	2*	3*	2*	2*	4*	5*	2*	2	3

Tabulka charakteristik (pokračování) p 523 - 631
p	523*	541	547*	557	563*	569	571*	577	587*	593	599*	601	607*	613	617	619*	631*
f k	2∙3^2∙29	2^2∙3^3∙5	2∙3∙7∙13	2^2∙139	2∙281	2^3∙71	2∙3∙5∙19	2^6∙3^2	2∙293	2^4∙37	2∙13∙23	2^3∙3∙5^2	2∙3∙101	2^2∙3^2∙17	2^3∙7∙11	2∙3∙103	2∙3^2∙5∙7
χ	4*	2 l ₄: 52; l ₂₇: 28	4*	2	3*	3	5*	5 l ₆₄: 20; l ₉: 287	3*	3	3*	7 l ₈: 59; l ₂₅: 2	2*	2	3	4*	9 l ₉: 32; l ₇: 21

Tabulka charakteristik (pokračování) p 641 - 757
p	641	643*	647*	653	659*	661	673	677	683*	691*	701	709	719*	727*	733	739*	743*	751*	757
f k	2^7∙5	2∙3∙107	2∙17∙19	2^2∙163	2∙7∙47	2^2∙3∙5∙11	2^5∙3∙7	2^2∙13^2	2∙11∙31	2∙3∙5∙23	2^2∙5^2∙7	2^2∙3∙59	2∙359	2∙3∙11^2	2^2∙3∙61	2∙3^2∙41	2∙7∙53	2∙3∙5^3	2^2∙3^3∙7
χ	3 l ₁₂₈: 21; l ₅: 357	7*	2* l ₁₇: 43; l ₁₉: 55	2	3*	2 l ₄: 106; l ₁₁: 9; l ₁₅: 12	5 l ₃₂: 107; l ₂₁: 108	2 l ₄: 26; l ₁₆₉: 6	10*; l ₃₁: 3	6*	2	2	2*	7* l ₁₂₁: 2	6; l ₁₂: 113	6*	2*	2*	2; l ₄: 87; l ₂₇: 10; l ₇: 59

Tabulky pro p 761 - 883, 887 - 1013

Tabulka charakteristik (pokračování) p 761 - 883
p	761	769	773	787*	797	809	811*	821	823*	827*	829	839*	853	857	859*	863*	877	881	883*
f k	2^3∙5∙19	2^8∙3	2^2∙193	2∙3∙131	2^2∙199	2^3∙101	2∙3^4∙5	2^2∙5∙41	2∙3∙137	2∙7∙59	2^2∙3^2∙23	2∙419	2^2∙3∙71	2^3∙107	2∙3∙11∙13	2∙431	2^2∙3∙73	2^4∙5∙11	2∙3^2∙7^2
χ	6	11; l ₂₅₆: 7	2	4*	2	3	5*; l ₈₁: 39	2	2*	3*; l ₅₉: 25	2; l ₃₆: 43; l ₂₃: 11	2*	2	3; l ₁₀₇: 16	4*; l ₁₁: 13	2*	2	3; l ₁₆: 68; l ₁₁: 32	4*; l ₄₉: 17

Tabulka charakteristik (pokračování) p 887 - 1013
p	887*	907*	911*	919*	929	937	941	947*	953	967*	971*	977	983*	991*	997	1009	1013	1019*
f k	2∙433	2∙3∙151	2∙5∙7∙13	2∙3^3∙17	2^5∙29	2^3∙3^2∙13	2^2∙5∙47	2∙11∙43	2^3∙7∙17	2∙3∙7∙23	2∙5∙97	2^4∙61	2∙491	2∙3^2∙5∙11	2^2∙3∙83	2^4∙3^2∙7	2^2∙11∙23	2∙509
χ	2*	4*; l ₁₅₁: 10	3*; l ₉₁: 2	5*; l ₅₁: 8	3; l ₂₉: 20	5; l ₁₃: 36; l ₇₂: 66	2; l ₂₀: 23; l ₄₇: 34	3*	3; l ₁₇: 16	2*	3*	3; l ₆₁: 14; l ₁₆: 52	2*	2; l ₄₅: 59; l ₁₁: 42	7; l ₁₂: 91	11; l ₁₆: 62; l ₆₃: 28	3; l ₄₄: 65; l ₂₃: 16	3*