Matematika/Základní škola/8. třída/1

Rovnice

Co je to rovnice?

Zatím se budeme muset spokojit s vysvětlením, že rovnice jsou dva výrazy, mezi kterými je znaménko "=". Za rovnici můžeme považovat i výraz: 1 + 1 = 2. Většinou si však pod pojmem rovnice představíme výraz s neznámou. Termín "neznámá" označuje písmeno, které nahrazuje nějaké číslo (jako třeba žolík v kartách). Takže například bychom mohli napsat 1 + x = 2 (nejčastěji používáme právě písmeno x). V tomto případě nám x zastupuje jedničku.

Abychom vyřešili rovnici, musíme najít číslo, které má být místo písmena.

Např.: Je zadaná rovnice 6·x = 42. Řešením rovnice je tedy 7, protože 6·7 = 42. Výsledek zapisujeme následovně: x = 7.

Příklad postupu řešení: ${\begin{array}{rcll}6\cdot x&=&42&{\text{/ obě strany rovnice dělíme 6}}\\x&=&42/6\\x&=&7\end{array}}$

Postup řešení rovnic

Rovnice nemusí být vždy takto jednoduché. Budeme se setkávat s rovnicemi, které nevyřešíme na první pohled. Jako vzorový příklad si uveďme ještě stále velmi jednoduchou rovnici 4x + 75 = 120 − 25 (zápis 4x je to samé jako 4·x).

Ještě než se dostaneme k řešení, musíme vědět, že rovnice se dělí na levou a pravou stranu. Levá strana je nalevo od „=“ a pravá (překvapivě) napravo od „=“.

Jdeme tedy řešit naši rovnici. Nejdříve si spočítáme výraz na pravé straně:

$4x+75=95$.

Pravá strana už je v pořádku, teď si ještě musíme upravit levou stranu. Jak na to? Další pravidlo, které musíme znát, je následující:

Můžeme k oběma stranám rovnice přičíst nebo od nich odečíst stejné číslo. Např. od levé i od pravé strany odečteme 10. Také můžeme obě strany vynásobit nebo vydělit stejným číslem (Pozor! Rovnici nesmíme násobit ani dělit nulou.). Můžeme například vynásobit obě strany rovnice číslem 2. Pokud bychom chtěli násobit, musíme vynásobit každý člen rovnice. Členy jsou odděleny znaménky + a − (velmi zjednodušeně a ne zcela přesně řečeno). Takže naše rovnice má na levé straně dva členy: 4x a 75. Pokud dělíme, opět musíme vydělit všechny členy.

Abychom vyřešili rovnici, musíme mít na jedné straně neznámou a na druhé straně číslo (např. x = 3). Jak tedy osamostatníme x v naší rovnici? Musíme odečíst 75 od odbou stran a obě strany vydělit 4. Ale v jakém pořadí? Kdybychom nejprve dělili, museli bychom vydělit každý člen, proto bude jednodušší nejdřív odčítat. Pro názornost budeme vpravo vedle rovnice za lomítkem poznamenávat, jaké operace provádíme.

${\begin{array}{rcll}4x+75&=&95&/-75\\4x+75-75&=&95-75\\4x+0&=&20\\4x&=&20&/:4\\x&=&5\end{array}}$

Řešením rovnice je x = 5.

Úlohy k procvičení

Vyřešte rovnice:

• $150-3x=90$
  

  x = 20

• $3\cdot (2x+1)=15$

  x = 2

• $5x+4\cdot (x+2)=8x+1$

  x = −7

  (Nápověda: neznámé můžeme přičítat i odečítat stejně jako čísla; platí, že $5x-2x=3x$ atd.)
• $8+x=25$

  x = 17

• $72:x=8$

  x = 9

• $586-y=4$

  y = 582

Slovní úlohy

Chlapec Emil ve filmu Helimadoe podle stejnojmenného románu Jaroslava Havlíčka dostane při zkoušce z matematiky tuto slovní úlohu: „Hráč má na počátku hry x tolarů. Zdvojnásobí je, ale utratí 20 tolarů. V další hře je ztrojnásobí, ale utratí 28 tolarů. V následující hře je zečtyřnásobí, a když utratí polovinu částky, má přesně tolik, kolik měl na počátku hry. S kolika tolary začal hru?“ Emil ji vyřešit nedokázal, jak si s ní poradíte vy?

Z údajů v zadání sestavíme rovnici ${\frac {((2x-20)\cdot 3-28)\cdot 4}{2}}=x$.

Tu postupně upravujeme:

${\begin{array}{rcl}(6x-88)\cdot 2&=&x\\12x-176&=&x\\11x&=&176\\x&=&16\end{array}}$

Hráč měl na počátku hry 16 tolarů.