Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 120

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 120: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 120: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 * 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001. Obě tato čísla jsou v každé soustavě dělitelná dále: první viz U₆₀, druhé je dělitelné číslem 10001_(z). Tento podíl je vždy ještě dělitelný čísly gggg0001_(z) (jehož l = 24) a gggg0000gggg0001_(z) (jehož l = 40); a výsledek je vždy ve tvaru 10000gggggggbgggbgggg000000010001, kde g = z - 1 a b = z - 2. Pokud je prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 120.
Stejnou délku p.h. (t.j. 120) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z^{(2n + 1)} (lichý exponent) s výjimkou všech z^(3*(2n+1)) (exponent, dělitelný 3), kde je l.p. = 40 a všech z^(5*(2n+1)) (exponent, dělitelný 5), kde je l.p. = 24. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě třicet dva z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z (kde z je některé z uvedených v předchozím bodě) platí, že jejich l.p. je také 120. Jinak řečeno, pro každé p, vyhovující vzorci 120n + 1, existuje právě šestnáct párů z, jejichž vzájemný součet je roven p.
Zdaleka ne každé číslo 10000gggggggbgggbgggg000000010001_(z) je prvočíslem. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 120n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 120.
V desítkové soustavě všechna tato unikátní prvočísla (i v předchozím bodě zmíněné faktory) končí jedničkou.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₂₀)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₂₀ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 120
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/120 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/120)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p 10000gggggggbgggbgggg000000010001_(z) (U₁₂₀)
p	4562284561	23320317172851318360001	100009999999899989999000000010001	83199087472571360789685166938018099401281	1461503031127477825099979369543473122548042956801
z	2	5	10	19	32
f k/120	2∙17∙19∙ ∙229∙257	2^3∙5^3∙13∙17∙61∙313∙11489∙ ∙4008709	2∙3∙5^3∙11∙17∙73∙101∙137∙952439∙ ∙1050041∙5882353	2^3∙3∙17∙19^4∙181∙607∙3677∙3833∙15073∙ ∙563377∙991663259	2^17∙5∙11∙17∙31∙41∙257∙61681∙280541∙ ∙4278255361∙4109640316811

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U120)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₂₀)