Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3: Porovnání verzí

← Porovnání se starší verzí Porovnání s novější verzí →

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verze z 9. 3. 2013, 22:11

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 3: 111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=a^b). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R₂ (11) je 5 a osmičková soustava, kde R₃ (111) je 73.
2. V soustavách o základu 3n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 3.
3. Kromě trojky, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 3) vyhovují vzorci 6n + 1 (p).
4. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci z_a + np_b.
5. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a je (nezbytně) také v soustavě z_b, vyhovující vzorci p - z_a - 1.
Faktory nebo repunitová prvočísla o délce R = 3_{z _a} jsou zároveň kofaktory repunitu o délce R = 6 v následující (z_a + 1) soustavě. Toto pravidlo paltí pouze pro repunity R = 3 : R = 6 (t.j. neplatí pro repunity R = p : R = 2p pro p>3).
Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 3)

legenda:

p - prvočíslo
R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/6 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/6)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších repunitových p 111_(z) (R = 3)
p	7	13	31	43	73	157	211	241	307	421	463	601	757	1123	1483	1723	2551	2971	3307	3541	3907	4423	4831	5113	5701	6007
z	2	3	5	6	8	12	14	15	17	20	21	24	27	33	38	41	50	54	57	59	62	66	69	71	75	77
f k/6	1	2	5	7	2^2∙3	2∙13	5∙7	2^3∙5	3∙17	2∙5∙7	7∙11	2^2∙5^2	2∙3^2∙7	11∙17	13∙19	7∙41	5^2∙17	3^2∙5∙11	19∙29	2∙5∙59	3∙7∙31	11∙67	5∙7∙23	2^2∙3∙71	2∙5^2∙19	7∙11∙13
l.p.(10)	6	6	15	21	8	78	30	30	153	140	154	300	27	561	247	287	425	2970	1653	20	1953	4422	805	1704	5700	858

Pokračování tabulky nejmenších repunitových p 111_(z) (R = 3)
p	6163	6481	8011	8191	9901	10303	11131	12211	12433	13807	14281	17293	19183	20023	20593	22651	23563	24181
z	78	80	89	90*	99	101	105	110	111	117	119	131	138	141	143	150	153	155
f k/6	13∙79	2^3∙3^3∙5	3∙5∙89	3∙5∙7∙13	2∙3∙5^2∙11	17∙101	5∙7∙53	5∙11∙37	2^3∙7∙37	3∙13∙59	2^2∙5∙7∙17	2∙11∙131	23∙139	47∙71	2^3∙3∙11∙13	5^2∙151	3∙7∙11∙17	2∙5∙13∙31
l.p.(10)	79	270	2670	1365	12	3434	11130	4070	4144	13806	1190	1441	6394	6674	1872	1510	11781	4836

Pokračování tabulky nejmenších repunitových p 111_(z) (R = 3)
p	26083	26407	27061	28057	28393	30103	31153	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x
z	161	162	164	167	168	173	176	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x
f k/6	3^3∙7∙23	3^3∙163	2∙5∙11∙41	2^2∙7∙167	2^2∙7∙13^2	29∙173	2^3∙11∙59	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x
l.p.(10)	1449	26406	27060	28056	1352	30102	31152	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p.

Sledujte

Předchozí - není
následující: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 5 (kusurija)

@@ Řádek 28: / Řádek 28: @@
 |+ Tabulka nejmenších repunitových p 111<sub>(z)</sub> (R = 3)
 |-
-! p || 7 || 13 || 31 || 43 || 73 || 157 || 211 || 241 || 307 || 421 || 463 || 601 || 1123 || 1483 || 1723 || 2551 || 2971 || 3307 || 3541 || 3907 || 4423 || 4831 || 5113 || 5701 || 6007 || 6163 || 6481
+! p || 7 || 13 || 31 || 43 || 73 || 157 || 211 || 241 || 307 || 421 || 463 || 601 || 757 || 1123 || 1483 || 1723 || 2551 || 2971 || 3307 || 3541 || 3907 || 4423 || 4831 || 5113 || 5701 || 6007
 |-
 ! z
-| [[Číselné soustavy/Dvojková soustava (kusurija)|2]] || [[Číselné soustavy/Trojková soustava (kusurija)|3]] || [[Číselné soustavy/Pětková soustava (kusurija)|5]] || [[Číselné soustavy/Šestková soustava (kusurija)|6]] || '''[[Číselné soustavy/Osmičková soustava (kusurija)|8]]''' || [[Číselné soustavy/Dvanáctková soustava (kusurija)|12]] || [[Číselné soustavy/Čtrnáctková soustava (kusurija)|14]] || [[Číselné soustavy/Patnáctková soustava (kusurija)|15]] || [[Číselné soustavy/Sedmnáctková soustava (kusurija)|17]] || [[Číselné soustavy/Dvacítková soustava (kusurija)|20]] || [[Číselné soustavy/Soustava o základu 21 (kusurija)|21]] || [[Číselné soustavy/Čtyřiadvacítková soustava (kusurija)|24]] || [[Číselné soustavy/Soustava o základu 33 (kusurija)|33]] || 38 || 41 || 50 || 54 || 57 || 59 || 62 || 66 || 69 || 71 || 75 || 77 || 78 || 80
+| [[Číselné soustavy/Dvojková soustava (kusurija)|2]] || [[Číselné soustavy/Trojková soustava (kusurija)|3]] || [[Číselné soustavy/Pětková soustava (kusurija)|5]] || [[Číselné soustavy/Šestková soustava (kusurija)|6]] || '''[[Číselné soustavy/Osmičková soustava (kusurija)|8]]''' || [[Číselné soustavy/Dvanáctková soustava (kusurija)|12]] || [[Číselné soustavy/Čtrnáctková soustava (kusurija)|14]] || [[Číselné soustavy/Patnáctková soustava (kusurija)|15]] || [[Číselné soustavy/Sedmnáctková soustava (kusurija)|17]] || [[Číselné soustavy/Dvacítková soustava (kusurija)|20]] || [[Číselné soustavy/Soustava o základu 21 (kusurija)|21]] || [[Číselné soustavy/Čtyřiadvacítková soustava (kusurija)|24]] || [[Číselné soustavy/Soustava o základu 27 (kusurija)|27]] || [[Číselné soustavy/Soustava o základu 33 (kusurija)|33]] || 38 || 41 || 50 || 54 || 57 || 59 || 62 || 66 || 69 || 71 || 75 || 77
 |-
 ! ''f'' k/6
-| 1 || 2 || 5 || 7 || 2^2∙3 || 2∙13 || 5∙7 || 2^3∙5 || 3∙17 || 2∙5∙7 || 7∙11 || 2^2∙5^2 || 11∙17 || 13∙19 || 7∙41 || 5^2∙17 || 3^2∙5∙11 || 19∙29 || 2∙5∙59 || 3∙7∙31 || 11∙67 || 5∙7∙23 || 2^2∙3∙71 || 2∙5^2∙19 || 7∙11∙13 || 13∙79 || 2^3∙3^3∙5
+| 1 || 2 || 5 || 7 || 2^2∙3 || 2∙13 || 5∙7 || 2^3∙5 || 3∙17 || 2∙5∙7 || 7∙11 || 2^2∙5^2 || 2∙3^2∙7 || 11∙17 || 13∙19 || 7∙41 || 5^2∙17 || 3^2∙5∙11 || 19∙29 || 2∙5∙59 || 3∙7∙31 || 11∙67 || 5∙7∙23 || 2^2∙3∙71 || 2∙5^2∙19 || 7∙11∙13
 |-
 ! ''l.p.''(10)
-| 6 || 6 || 15 || 21 || 8 || 78 || 30 || 30 || 153 || 140 || 154 || 300 || 561 || 247 || 287 || 425 || 2970 || 1653 || 20 || 1953 || 4422 || 805 || 1704 || 5700 || 858 || 79 || 270
+| 6 || 6 || 15 || 21 || 8 || 78 || 30 || 30 || 153 || 140 || 154 || 300 || 27 || 561 || 247 || 287 || 425 || 2970 || 1653 || 20 || 1953 || 4422 || 805 || 1704 || 5700 || 858
 |}
@@ Řádek 43: / Řádek 43: @@
 |+ Pokračování tabulky nejmenších repunitových p 111<sub>(z)</sub> (R = 3)
 |-
-! p || 8011 || 8191 || 9901 || 10303 || 11131 || 12211 || 12433 || 13807 || 14281 || 17293 || 19183 || 20023 || 20593 || 22651 || 23563 || 24181 || 26083 || 26407
+! p || 6163 || 6481 || 8011 || 8191 || 9901 || 10303 || 11131 || 12211 || 12433 || 13807 || 14281 || 17293 || 19183 || 20023 || 20593 || 22651 || 23563 || 24181
 |-
 ! z
-| 89 || '''90'''* || 99 || 101 || 105 || 110 || 111 || 117 || 119 || 131 || 138 || 141 || 143 || 150 || 153 || 155 || 161 || 162
+| 78 || 80 || 89 || '''90'''* || 99 || 101 || 105 || 110 || 111 || 117 || 119 || 131 || 138 || 141 || 143 || 150 || 153 || 155
 |-
 ! ''f'' k/6
-| 3∙5∙89 || 3∙5∙7∙'''13''' || 2∙3∙5^2∙11 || 17∙101 || 5∙7∙53 || 5∙11∙37 || 2^3∙7∙37 || 3∙13∙59 || 2^2∙5∙7∙17 || 2∙11∙131 || 23∙139 || 47∙71 || 2^3∙3∙11∙13 || 5^2∙151 || 3∙7∙11∙17 || 2∙5∙13∙31 || 3^3∙7∙23 || 3^3∙163
+| 13∙79 || 2^3∙3^3∙5 || 3∙5∙89 || 3∙5∙7∙'''13''' || 2∙3∙5^2∙11 || 17∙101 || 5∙7∙53 || 5∙11∙37 || 2^3∙7∙37 || 3∙13∙59 || 2^2∙5∙7∙17 || 2∙11∙131 || 23∙139 || 47∙71 || 2^3∙3∙11∙13 || 5^2∙151 || 3∙7∙11∙17 || 2∙5∙13∙31
 |-
 ! ''l.p.''(10)
-| 2670 || 1365 || 12 || 3434 || 11130 || 4070 || 4144 || 13806 || 1190 || 1441 || 6394 || 6674 || 1872 || 1510 || 11781 || 4836 || 1449 || 26406
+| 79 || 270 || 2670 || 1365 || 12 || 3434 || 11130 || 4070 || 4144 || 13806 || 1190 || 1441 || 6394 || 6674 || 1872 || 1510 || 11781 || 4836
+|}
+{| class="wikitable"
+|+ Pokračování tabulky nejmenších repunitových p 111<sub>(z)</sub> (R = 3)
+|-
+! p || 26083 || 26407 || 27061 || 28057 || 28393 || 30103 || 31153 || x || x || x || x || x || x || x || x || x || x || x
+|-
+! z
+| 161 || 162 || 164 || 167 || 168 || 173 || 176 || x || x || x || x || x || x || x || x || x || x || x
+|-
+! ''f'' k/6
+| 3^3∙7∙23 || 3^3∙163 || 2∙5∙11∙41 || 2^2∙7∙167 || 2^2∙7∙13^2 || 29∙173 || 2^3∙11∙59 || x || x || x || x || x || x || x || x || x || x || x
+|-
+! ''l.p.''(10)
+| 1449 || 26406 || 27060 || 28056 || 1352 || 30102 || 31152 || x || x || x || x || x || x || x || x || x || x || x
 |}