Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 3: 111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
2. Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
   1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=a^b). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R₂ (11) je 5 a osmičková soustava, kde R₃ (111) je 73.
   2. V soustavách o základu 3n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 3.
   3. Kromě trojky, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 3) vyhovují vzorci 6n + 1 (p).
   4. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci z_a + np_b.
   5. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a je (nezbytně) také v soustavě z_b, vyhovující vzorci p - z_a - 1.
3. Faktory nebo repunitová prvočísla o délce R = 3_{z a} jsou zároveň kofaktory repunitu o délce R = 6 v následující (z_a + 1) soustavě. Toto pravidlo paltí pouze pro repunity R = 3 : R = 6 (t.j. neplatí pro repunity R = p : R = 2p pro p>3).
4. Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 3)

legenda:

• p - prvočíslo
• R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
• z - základ číselné soustavy
• f - w:faktor
• k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/6 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/6)
• l.p. délka periody 1/p
• l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
• ∙ - znak násobení
• ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších repunitových p 111_(z) (R = 3)

p	7	13	31	43	73	157	211	241	307	421	463	601	1123	1483	1723	2551	2971	3307	3541	3907	4423	4831	5113	5701	6007	6163	6481
z	2	3	5	6	8	12	14	15	17	20	21	24	33	38	41	50	54	57	59	62	66	69	71	75	77	78	80
f k/6	1	2	5	7	2^2∙3	2∙13	5∙7	2^3∙5	3∙17	2∙5∙7	7∙11	2^2∙5^2	11∙17	13∙19	7∙41	5^2∙17	3^2∙5∙11	19∙29	2∙5∙59	3∙7∙31	11∙67	5∙7∙23	2^2∙3∙71	2∙5^2∙19	7∙11∙13	13∙79	2^3∙3^3∙5
l.p.(10)	6	6	15	21	8	78	30	30	153	140	154	300	561	247	287	425	2970	1653	20	1953	4422	805	1704	5700	858	79	270

Pokračování tabulky nejmenších repunitových p 111_(z) (R = 3)

p	8011	8191	9901	10303	11131	12211	12433	13807	14281	17293	19183	20023	20593	22651	23563	24181	26083	26407
z	89	90*	99	101	105	110	111	117	119	131	138	141	143	150	153	155	161	162
f k/6	3∙5∙89	3∙5∙7∙13	2∙3∙5^2∙11	17∙101	5∙7∙53	5∙11∙37	2^3∙7∙37	3∙13∙59	2^2∙5∙7∙17	2∙11∙131	23∙139	47∙71	2^3∙3∙11∙13	5^2∙151	3∙7∙11∙17	2∙5∙13∙31	3^3∙7∙23	3^3∙163
l.p.(10)	2670	1365	12	3434	11130	4070	4144	13806	1190	1441	6394	6674	1872	1510	11781	4836	1449	26406

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p.