Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 3: Porovnání verzí

Přidat odkazy
Z Wikiverzity
Interaktivně procházet historii
← Porovnání se starší verzíPorovnání s novější verzí →
Smazaný obsah Přidaný obsah
VizuálníWikitext
- (kusurija)
Řádek 4: Řádek 4:
== Drobečky teorie ==
== Drobečky teorie ==
# V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 3: '''111'''. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
# V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 3: '''111'''. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
# Repunitová prvočísla o délce 3 ('''111''') jsou popsána v článku [[Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3 (kusurija)]]. Avšak v soustavách z = 3n + 1 jsou repunity 111 vždy součinem '''3 * ''ce''''', kde ''c'' je (z - 1)/3 a ''e'' = 2c + 1. Ne v každé soustavě je ''ce''<sub>(z)</sub> prvočíslo, tak jak je tomu například v desítkové soustavě (37<sub>([[Číselné soustavy/Desítková soustava (kusurija)|10]])</sub>: (10<sub>(10)</sub> - 1)/3 = 3; 2*3 + 1 = 7; ve čtyřkové soustavě: (10<sub>(4)</sub> - 1)/3 = 1; 2*1 + 1 = 3; 13<sub>([[Číselné soustavy/Čtyřková soustava (kusurija)|4]])</sub> = 7<sub>(10)</sub>; ale: (10<sub>([[Číselné soustavy/Šestnáctková soustava (kusurija)|16]])</sub> - 1)/3 = 5; 2*5 + 1 = B<sub>([[Číselné soustavy/Šestnáctková soustava (kusurija)|16]])</sub>; číslo 5B<sub>([[Číselné soustavy/Šestnáctková soustava (kusurija)|16]])</sub> (= 7*D<sub>(16)</sub> = 7*13<sub>(10)</sub>) a tudíž v šestnáctkové soustavě neexistuje unikátní prvočíslo s délkou p.h. ''l'' = 3.
# Repunitová prvočísla o délce 3 ('''111''') jsou popsána v článku [[Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3]]. Avšak v soustavách z = 3n + 1 jsou repunity 111 vždy součinem '''3 * ''ce''''', kde ''c'' je (z - 1)/3 a ''e'' = 2c + 1. Ne v každé soustavě je ''ce''<sub>(z)</sub> prvočíslo, tak jak je tomu například v desítkové soustavě (37<sub>([[Číselné soustavy/Desítková soustava|10]])</sub>: (10<sub>(10)</sub> - 1)/3 = 3; 2*3 + 1 = 7; ve čtyřkové soustavě: (10<sub>(4)</sub> - 1)/3 = 1; 2*1 + 1 = 3; 13<sub>([[Číselné soustavy/Čtyřková soustava|4]])</sub> = 7<sub>(10)</sub>; ale: (10<sub>([[Číselné soustavy/Šestnáctková soustava|16]])</sub> - 1)/3 = 5; 2*5 + 1 = B<sub>([[Číselné soustavy/Šestnáctková soustava|16]])</sub>; číslo 5B<sub>([[Číselné soustavy/Šestnáctková soustava|16]])</sub> (= 7*D<sub>(16)</sub> = 7*13<sub>(10)</sub>) a tudíž v šestnáctkové soustavě neexistuje unikátní prvočíslo s délkou p.h. ''l'' = 3.
# Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné '''p''' v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
# Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné '''p''' v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
# Některé repunity 111 mohou být i mocninou prvočísla (například v [[Číselné soustavy/Osmnáctková soustava (kusurija)|osmnáctkové soustavě]] je to 7, protože 7^3 = 111<sub>([[Číselné soustavy/Osmnáctková soustava (kusurija)|18]])</sub>, případně mohou být mocninou i třetiny takových repunitů (ce = p<sup>n</sup>). V tom případě patřičné odmocniny takových čísel jsou v dané soustavě unikátní prvočísla.
# Některé repunity 111 mohou být i mocninou prvočísla (například v [[Číselné soustavy/Osmnáctková soustava|osmnáctkové soustavě]] je to 7, protože 7^3 = 111<sub>([[Číselné soustavy/Osmnáctková soustava|18]])</sub>, případně mohou být mocninou i třetiny takových repunitů (ce = p<sup>n</sup>). V tom případě patřičné odmocniny takových čísel jsou v dané soustavě unikátní prvočísla.
# Pokud číslo ce<sub>(z)</sub> je složené, mají faktory délku p.h. ''l'' = 3, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
# Pokud číslo ce<sub>(z)</sub> je složené, mají faktory délku p.h. ''l'' = 3, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
# Prvočísla o délce p.h. ''l'' = 3 vždy vyhovují vzorci 6n + 1.
# Prvočísla o délce p.h. ''l'' = 3 vždy vyhovují vzorci 6n + 1.
Řádek 31: Řádek 31:
|-
|-
! z
! z
| [[Číselné soustavy/Čtyřková soustava (kusurija)|4]], [[Číselné soustavy/Osmnáctková soustava (kusurija)|18]] || [[Číselné soustavy/Soustava o základu 22 (kusurija)|22]] || [[Číselné soustavy/Sedmičková soustava (Mike Beer)|7]] || '''[[Číselné soustavy/Desítková soustava (kusurija)|10]]''' || [[Číselné soustavy/Třináctková soustava (kusurija)|13]] || [[Číselné soustavy/Devatenáctková soustava (kusurija)|19]] || [[Číselné soustavy/Soustava o základu 28 (kusurija)|28]] || [[Číselné soustavy/Soustava o základu 31 (kusurija)|31]] || [[Číselné soustavy/Soustava o základu 34 (kusurija)|34]] || [[Číselné soustavy/Soustava o základu 40 (kusurija)|40]] || [[Číselné soustavy/Soustava o základu 43 (kusurija)|43]] || [[Číselné soustavy/Soustava o základu 52 (kusurija)|52]] || 70 || 73 || 76 || 82 || 85 || 91 || 97 || 103 || 112 || 115 || 124
| [[Číselné soustavy/Čtyřková soustava|4]], [[Číselné soustavy/Osmnáctková soustava|18]] || [[Číselné soustavy/Soustava o základu 22|22]] || [[Číselné soustavy/Sedmičková soustava (Mike Beer)|7]] || '''[[Číselné soustavy/Desítková soustava|10]]''' || [[Číselné soustavy/Třináctková soustava|13]] || [[Číselné soustavy/Devatenáctková soustava|19]] || [[Číselné soustavy/Soustava o základu 28|28]] || [[Číselné soustavy/Soustava o základu 31|31]] || [[Číselné soustavy/Soustava o základu 34|34]] || [[Číselné soustavy/Soustava o základu 40|40]] || [[Číselné soustavy/Soustava o základu 43|43]] || [[Číselné soustavy/Soustava o základu 52|52]] || 70 || 73 || 76 || 82 || 85 || 91 || 97 || 103 || 112 || 115 || 124
|-
|-
! ''f'' k/6
! ''f'' k/6
| 1 || 2 || 3 || 2∙3 || 2∙5 || 3∙7 || 3^2∙5 || 5∙11 || 2∙3∙11 || 7∙13 || 3∙5∙7 || 3^2∙17 || 2^2∙3∙23 || 2^2∙3∙5^2 || 5^2∙13 || 2∙3^3∙7 || 2∙7∙29 || 3∙5∙31 || 2^4∙3∙11 || 5∙7∙17 || 19∙37 || 3∙13∙19 || 3∙7∙41
| 1 || 2 || 3 || 2∙3 || 2∙5 || 3∙7 || 3^2∙5 || 5∙11 || 2∙3∙11 || 7∙13 || 3∙5∙7 || 3^2∙17 || 2^2∙3∙23 || 2^2∙3∙5^2 || 5^2∙13 || 2∙3^3∙7 || 2∙7∙29 || 3∙5∙31 || 2^4∙3∙11 || 5∙7∙17 || 19∙37 || 3∙13∙19 || 3∙7∙41
|-
|-
! ''l.p.''([[Číselné soustavy/Desítková soustava (kusurija)|10]])
! ''l.p.''([[Číselné soustavy/Desítková soustava|10]])
| 6 || 6 || 18 || '''3''' || 60 || 42 || 5 || 110 || 99 || 91 || 315 || 459 || 552 || 900 || 195 || 2268 || 1218 || 31 || 72 || 3570 || 4218 || 4446 || 5166
| 6 || 6 || 18 || '''3''' || 60 || 42 || 5 || 110 || 99 || 91 || 315 || 459 || 552 || 900 || 195 || 2268 || 1218 || 31 || 72 || 3570 || 4218 || 4446 || 5166
|-
|-
Řádek 50: Řádek 50:
== Sledujte ==
== Sledujte ==
* Předchozí - není
* Předchozí - není
* následující: [[Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 4 (kusurija)]], [[Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 5 (kusurija)]], [[Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 7 (kusurija)]]
* následující: [[Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 4]], [[Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 5]], [[Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 7]]


(Unikátní p: l = 6 je vynecháno, protože je shodné s [[Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3 (kusurija)]], případně se zde uvedenými, jen '''z''' jsou vždy o 1 větší. Prvočísla jsou ve tvaru ''g''1, kde ''g'' = z - 1)
(Unikátní p: l = 6 je vynecháno, protože je shodné s [[Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3]], případně se zde uvedenými, jen '''z''' jsou vždy o 1 větší. Prvočísla jsou ve tvaru ''g''1, kde ''g'' = z - 1)


=== Repunity ===
=== Repunity ===
* Předchozí: [[Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3 (kusurija)]]
* Předchozí: [[Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3]]
* následující: [[Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 5 (kusurija)]]
* následující: [[Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 5]]


[[Kategorie:Matematika]]
[[Kategorie:Matematika]]

Verze z 28. 12. 2013, 12:50

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 3: 111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Repunitová prvočísla o délce 3 (111) jsou popsána v článku Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3. Avšak v soustavách z = 3n + 1 jsou repunity 111 vždy součinem 3 * ce, kde c je (z - 1)/3 a e = 2c + 1. Ne v každé soustavě je ce(z) prvočíslo, tak jak je tomu například v desítkové soustavě (37(10): (10(10) - 1)/3 = 3; 2*3 + 1 = 7; ve čtyřkové soustavě: (10(4) - 1)/3 = 1; 2*1 + 1 = 3; 13(4) = 7(10); ale: (10(16) - 1)/3 = 5; 2*5 + 1 = B(16); číslo 5B(16) (= 7*D(16) = 7*13(10)) a tudíž v šestnáctkové soustavě neexistuje unikátní prvočíslo s délkou p.h. l = 3.
  3. Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
  4. Některé repunity 111 mohou být i mocninou prvočísla (například v osmnáctkové soustavě je to 7, protože 7^3 = 111(18), případně mohou být mocninou i třetiny takových repunitů (ce = pn). V tom případě patřičné odmocniny takových čísel jsou v dané soustavě unikátní prvočísla.
  5. Pokud číslo ce(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 3, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
  6. Prvočísla o délce p.h. l = 3 vždy vyhovují vzorci 6n + 1.
  7. V soustavě z + 1 mají odpovídající prvočísla délku p.h. l = 6 a v té soustavě jsou rovněž unikátními prvočísly (U6). Repunitová prvočísla 111(z) jsou zároveň unikátními prvočísly U6 v soustavě z + 1.

Tabulka nejmenších unikátních p (U3)

legenda:

  • p - prvočíslo
  • U - unikátní prvočíslo
  • U3 - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 3
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/4 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/3)
  • l.p. délka periody 1/p
  • l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
  • p(z) - prvočíslo v zápisu v soustavě z
Tabulka nejmenších unikátních p 111-n(z) nebo ce(z) (U3)
p(10) 7 13 19 37 61 127 271 331 397 547 631 919 1657 1801 1951 2269 2437 2791 3169 3571 4219 4447 5167
z 4, 18 22 7 10 13 19 28 31 34 40 43 52 70 73 76 82 85 91 97 103 112 115 124
f k/6 1 2 3 2∙3 2∙5 3∙7 3^2∙5 5∙11 2∙3∙11 7∙13 3∙5∙7 3^2∙17 2^2∙3∙23 2^2∙3∙5^2 5^2∙13 2∙3^3∙7 2∙7∙29 3∙5∙31 2^4∙3∙11 5∙7∙17 19∙37 3∙13∙19 3∙7∙41
l.p.(10) 6 6 18 3 60 42 5 110 99 91 315 459 552 900 195 2268 1218 31 72 3570 4218 4446 5166
p(z) 13, 7 13 25 37 49 06:13 09:19 10:21 11:23 13:27 14:29 17:35 23:47 24:49 25:51 27:55 28:57 30:61 32:65 034:069 037:075 038:077 041:083
p(z+1) 12, 7 13 23 34 45 06:07 09:10 10:11 11:12 13:14 14:15 17:18 23:24 24:25 25:26 27:28 28:29 30:31 32:33 034:035 037:038 038:039 041:042

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

(Unikátní p: l = 6 je vynecháno, protože je shodné s Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3, případně se zde uvedenými, jen z jsou vždy o 1 větší. Prvočísla jsou ve tvaru g1, kde g = z - 1)

Repunity

Citováno z „https://cs.wikiversity.org/w/index.php?title=Číselné_soustavy/Unikátní_prvočísla:_l_%3D_3&oldid=42495“