Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3: Porovnání verzí

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verze z 1. 3. 2013, 14:24

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 3: 111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=a^b). Jedinou výjimkou je čtyřková soustava, kde R₂ (11) je 5.
2. V soustavách o základu 3n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 3.
3. Kromě trojky, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 3) vyhovují vzorci 6n + 1 (p).
4. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci z_a + np_b.
5. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a je (nezbytně) také v soustavě z_b, vyhovující vzorci p - z_a - 1.
Faktory nebo repunitová prvočísla o délce R = 3_{z _a} jsou zároveň kofaktory repunitu o délce R = 6 v následující (z_a + 1) soustavě. Toto pravidlo paltí pouze pro repunity R = 3 : R = 6 (t.j. neplatí pro repunity R = p : R = 2p pro p>3).
Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinou známou výjimkou z tohoto pravidla je prvočíslo 8191, které je repunitovým prvočíslemem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslemem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 3)

legenda:

p - prvočíslo
R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/6 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/6)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších repunitových p 111_(z) (R = 3)
p	7	13	31	43	157	211	241	307	421	463	601	1123	1483	1723	2551	2971	3307	3541	3907	4423	4831	5113	5701
z	2	3	5	6	12	14	15	17	20	21	24	33	38	41	50	54	57	59	62	66	69	71	75
f k/6	1	2	5	7	2∙13	5∙7	2^3∙5	3∙17	2∙5∙7	7∙11	2^2∙5^2	11∙17	13∙19	7∙41	5^2∙17	3^2∙5∙11	19∙29	2∙5∙59	3∙7∙31	11∙67	5∙7∙23	2^2∙3∙71	2∙5^2∙19
l.p.(10)	6	6	15	21	78	30	30	153	140	154	300	561	247	287	425	2970	1653	20	1953	4422	805	1704	5700

@@ Řádek 14: / Řádek 14: @@
 == Tabulka nejmenších repunitových p (R = 3) ==
+legenda:
+*p - prvočíslo
+*R - repunit (z angl. '''rep'''eated '''unit''' - opakovaná jednička)
+*z - základ číselné soustavy
+*''f'' - [[:w:Prvočíselný rozklad|w:faktor]]
+*k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/6 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/6)
+*''l.p.'' délka periody 1/p
+*''l.p.''(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
+*∙ - znak násobení
+*^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5<sup>3</sup> ( = 125)
 {| class="wikitable"
-|+ Tabulka nejmenších repunitových p (R = 3)
+|+ Tabulka nejmenších repunitových p 111<sub>(z)</sub> (R = 3)
 |-
-! p || 7 || 13 || 31 || 43 || 157 || 211 || 241 || 307 || 421 || 463 || 601 || 1123
+! p || 7 || 13 || 31 || 43 || 157 || 211 || 241 || 307 || 421 || 463 || 601 || 1123 || 1483 || 1723 || 2551 || 2971 || 3307 || 3541 || 3907 || 4423 || 4831 || 5113 || 5701
 |-
 ! z
-| 2 || 3 || 5 || 6 || 12 || 14 || 15 || 17 || 20 || 21 || 24 || 33
+| 2 || 3 || 5 || 6 || 12 || 14 || 15 || 17 || 20 || 21 || 24 || 33 || 38 || 41 || 50 || 54 || 57 || 59 || 62 || 66 || 69 || 71 || 75
 |-
-! ''f'' p/6
+! ''f'' k/6
-| 1 || 2 || 5 || 7 || 2∙13 || 5∙7 || 2^3∙5 || 3∙17 || 2∙5∙7 || 7∙11 || 2^2∙5^2 || 11∙17
+| 1 || 2 || 5 || 7 || 2∙13 || 5∙7 || 2^3∙5 || 3∙17 || 2∙5∙7 || 7∙11 || 2^2∙5^2 || 11∙17 || 13∙19 || 7∙41 || 5^2∙17 || 3^2∙5∙11 || 19∙29 || 2∙5∙59 || 3∙7∙31 || 11∙67 || 5∙7∙23 || 2^2∙3∙71 || 2∙5^2∙19
+|-
+! ''l.p.''(10)
+| 6 || 6 || 15 || 21 || 78 || 30 || 30 || 153 || 140 || 154 || 300 || 561 || 247 || 287 || 425 || 2970 || 1653 || 20 || 1953 || 4422 || 805 || 1704 || 5700
 |}